“已解决！” 数学物理领域的13个难题，终于有一个被完全破解！ -

Michael Aizenman是普林斯顿大学的物理和数学教授，在他的手上，有一张在1998年-1999年罗列的“愿望清单”。这张清单上记录的是数学物理领域中最令人困惑的13个开放难题（数学物理是一个运用严格的数学推理来解决物理问题的领域）。就像克雷数学研究院在2000年提出的千禧年大奖难题一样，这些问题都是无数学者毕生所追求的目标。

近二十年来，这13个问题中只有一个被部分解决，但即使这样，在部分解决的过程中就诞生了两个数学领域的最高荣誉——菲尔兹奖。现在，来自加州理工大学的研究人员Spiros Michalakis和微软的研究人员Matthew Hastings完完全全地解决了另一个问题！这个问题于1999年被首次提出，与“量子霍尔效应”相关。

1879年，霍尔（Edwin Hall）在一项开创性的实验中首次发现了霍尔效应。该实验表明，当存在垂直于金属表面的磁场时，金属中的电流会发生偏转。

○ 经典霍尔效应是带电粒子在磁场中运动的简单结果。这里显示的是一个简单的实验示意图：开启一个指向z-方向的恒定磁场（B）；在x-方向上存在一个恒定的电流（I）；同时，电子只能在于（x,y）平面内。根据霍尔定律，这样的设置会在y-方向产生电压（V）。霍尔效应之所以会出现，是因为磁场会使得带电粒子绕圈圈运动。

101年后，德国实验物理学家克劳斯·冯·克利青（Klaus von Klitzing）在更低的温度和更强的磁场下进行了霍尔的原始电导实验，他发现电流的偏转会以一种量子化的方式出现。换句话说，随着磁场强度的增加，金属电导的增加并不像经典物理学所预测的那样是渐进的或线性的，而是逐阶上升的。这一发现也让冯·克利青获得了1985年的诺贝尔物理学奖。

○ 量子霍尔效应有两种，分别是整数和分数量子霍尔效应。两种效应的发现都是先源于实验，之后才发展了相关的理论基础。图中显示的是冯·克利青发现的整数量子霍尔效应。当温度降到~4开尔文时，一个二维电子系统的霍尔电阻的平台会精确地出现在h/ie2处；其中i是整数，h是普朗克常数，e是电荷。

量子霍尔效应最神奇的地方在于，即使在材料中存在自然杂质的情况下，也能够出现精确的量子化。杂质会影响电流流过材料的路径，而且这些杂质在材料中是随机分布的，所以完全有理由想象它们会对电导产生随机的影响。但事实是，它们并不会。

就在冯·克利青发现量子霍尔效应的两年后，实验家霍斯特·施特默（Horst Störmer）和崔琦（Daniel Tsui ）展示了更令人困惑的一面：在极端条件下（更低的温度和更强的磁场下），霍尔电导会以先前观察到的结果的分数倍量子化。这就好像电子以某种方式分裂成了更小的粒子，每个粒子都携带了电子的一小部分电荷。施特默和崔琦，以及理论物理学家罗伯特·劳夫林（Robert Laughlin）因在这项研究中所作出的贡献而共同获得了1998年的诺贝尔物理学奖。

○ 分数量子霍尔效应。当温度降到~2开尔文时，一个二维电子系统的霍尔电阻的平台会精确地出现在h/νe2处，其中ν是分数，比如2/3、3/5、4/7、4/9等等。

整数和分数量子霍尔效应都表明，这些系统中的电子在某种程度上会以一种统一的、整体的方式相互作用，尽管通常它们会表现得像一个个乒乓球一样相互弹开。即使物理学家已经在这一领域取得了如此多的重大进展，但关于电子究竟是如何做到这一点的问题仍然存在。

Michalakis在2008年开始研究这个问题，当时他还是洛斯阿拉莫斯国家实验室里的一个数学博士后。他的研究建立在他的导师Hastings的开创性工作之上。Hastings根据他与其他人的数十年研究成果，发展出了新的用于研究量子霍尔效应的数学工具。对于Michalakis而言，翻阅所有以前的文献几乎与解决问题本身同样具有挑战性，因为与之相关的研究已经数不胜数，且其中大部分的研究都需要掌握非常前沿的物理知识，而对于有着数学背景的他，不得不将问题分解成他可以解决的更小的问题。

最终的解决方案来自于数学中的拓扑学。拓扑学研究的是物体的形状在弯曲或拉伸时不会改变的特性。例如，甜甜圈可以被拉伸成咖啡杯的形状，但如果想要把它变成球体，就必须将它撕裂。在霍尔效应的背后，就存在有点类似的情形：即使材料中存在着杂质，电导也不会改变。

其实早在Michalakis和Hastings之前，就有将拓扑用于研究量子霍尔效应的想法存在，但是之前的研究人员都被迫做出两种假设中的一种——要么是假设描述系统的数学空间的整体图景等同于局域图景，要么是假设系统中的电子不相互作用。第一个数学假设被怀疑是错误的，而第二个物理假设是不现实的。

Michalakis说：“在物质的拓扑状态下，电子会失去它们的‘身份’。你会得到一个更分散、更稳定、更纠缠的系统，表现的跟单一的物体一样。在我们之前的研究人员意识到了这可以解释量子霍尔电导的整体性质，但它们却作出了放大图景与缩小图景一样的假设。”

如何消除这两个假设令数学物理学家寝食难安，这也使他们在世纪之交，将量子霍尔效应列为一个重大的开放性问题。

Michalakis和Hastings用一种新颖的方式将整体图景与局域图景联系了起来，成功的移除了这些假设。为了说明它们的方法，让我们想象一下让快速远离地球时看到的画面：我们将看到的是一个没有山脉、没有峡谷的球体，让你可能会误以为能在没有任何障碍的情况下环游这颗星球。但当你回到地球时，你意识到这是不可能的——你必须穿越高山和峡谷。在数学意义上，Michalakis和Hastings的解决方案所做的，就是确定一条开放、平坦的路径，在这条路径上你不会遇到任何的低谷或高峰，本质上与你在远离地球时所感知的幻觉相符。

Michalakis说：“我通过使用Hasting的工具以及一些来自其他研究的想法，来证明如果知道了找寻方法的话，这样的路径总是存在，并且能轻易地就被找到的。结果是，霍尔电导等于缠绕着描述量子霍尔系统的数学形状的拓扑特征的路径的绕行次数。这就解释了为什么霍尔电导是一个整数，以及为什么它在应对材料中的杂质是表现得如此刚强。杂质就像是你在环游世界，偏离于‘黄金路线’的小弯绕。它们不会影响你环游世界的次数。”

当然，Michalakis和Hastings的实际证明比这个要复杂得多了；他们用了40页的数学推理来书写最初的证明，但经过艰苦的编辑过程，这个数字最终缩减到了30页。他们在2009年就提交了解决方案，但专家们花了很长的时间才消化这个结果。直到2015年，这个证明才在《数学物理通讯》上正式发表。

在发表的两年半后，数学物理学家们才正式承认了这个解决方法，并在官网上将这个问题标记为“已解决（SOLVED）”！

在2018年4月国际数学物理联合会的简报上，提出该问题的以色列理工学院的物理学教授Joseph Avron表示，证明的论文花了六年的时间才最终被发表，而它甚至要花更久的时间才能获得应有的影响力。